Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для произвольных скрещивающихся прямых $l_{1}$ и $l_{2}$ существует **общий перпендикуляр** к этим прямым - прямая, перпендикулярная к каждой из прямых и пересекающая каждую из них.

!general_perpendicular.png Обозначим через $\vec{s_{1}}$ и $\vec{s_{2}}$ - направляющие $l_{1}$ и $l_{2}$. Пусть $l_{1} \subset \sigma, l_{2}'$ - ортогональная проекция $l_{2}$ на $\sigma$. Так как $\vec{s_{1}} \nparallel \vec{s_{2}}$, $l_{1} \cap l_{2}' = M_{1}$. Далее, пусть $l \perp \sigma, M_{1} \in l$, тогда $l \perp l_{1}, l_{2}'$. Из того, что $l_{2}'$ - ортогональная проекция, вытекает, что $l \perp l_{2}$ и $l \cap l_{2}$. А значит $l$ - общий перпендикуляр к $l_{1}$ и $l_{2} ~~~~~\square$

Расстояния между скрещивающимися прямыми $l_{1}$ и $l_{2}$ - расстояние между точками, в которых общий перпендикуляр к $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекает эти прямые.

Пусть $\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}$ - направляющие $l_{1}$ и $l_{2}$, $A_{1} \in l_{1}, A_{2} \in l_{2}$ - произвольные точки, $\vec{a}:=\overrightarrow{A_{1}A_{2}}$, тогда расстояние между прямыми $l_{1}$ и $l_{2}$ равно: $$d(l_{1},l_{2}) = \dfrac{|\vec{a}\vec{s_{1}}\vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}} \times \vec{s_{2}}|}$$ Важно: система может быть не декартовой.

Продолжим построения из доказательства теоремы. Обозначим $l \cap l_{2} = M_{2}, ~A, B$ - концы направленных отрезков, если отложить от $A_{1}$ векторы $\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}$. Ясно, что расстояние между $l_{1}$ и $l_{2}$ ($M_{1}M_{2}$) равно длине высоты параллелограмма, построенного на $\overrightarrow{A_{1}A_{2}},~ \overrightarrow{A_{1}A},~ \overrightarrow{A_{1}B}$. Это следует из того, что доказательство можно проводить относительно обеих прямых и получить, что $l$ - перпендикуляр к обоим основаниям !distance_lines.png Из геометрического смысла векторного и смешанного произведений, получаем: $$d(l_{1},l_{2}) = \dfrac{V_{\text{пар}}}{S_{\text{осн}}} = \dfrac{|\overrightarrow{A_{1}A_{2}}~~ \overrightarrow{A_{1}A}~~ \overrightarrow{A_{1}B}|}{|\overrightarrow{A_{1}A} \times \overrightarrow{A_{1}B}|} = \dfrac{|\vec{a} \vec{s_{1}} \vec{s_{2}}|}{|\vec{s_{1}} \times \vec{s_{2}}|} ~~~\square$$